কাজ, শক্তি ও ক্ষমতার সংজ্ঞা সমূহ

You are currently viewing কাজ, শক্তি ও ক্ষমতার সংজ্ঞা সমূহ

কাজ, শক্তি ও ক্ষমতার সংজ্ঞা সমূহ

কাজ

বল প্রয়োগের ফলে বস্তুর সরণ হলে বল এবং বলের দিকে বস্তুর সরণের উপাংশের গুণফলকে কাজ বলে।

আর্গ

কোনো বস্তুর উপর এক ডাইন বল প্রয়োগের ফলে যদি বলের দিকে বলের প্রয়োগ বিন্দুর এক সেন্টিমিটার সরণ হয় তাহলে সম্পন্ন কাজের পরিমাণকে এক আর্গ বলে।

কাজ-শক্তি উপপাদ্য

কাজ-শক্তি উপপাদ্যটি হলো-কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়ারত লব্ধি বল কর্তৃক কৃত কাজ তার গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান।

বলের দ্বারা কাজ

কোন বস্তুর উপর বল প্রয়োগের ফলে যদি প্রয়োগ বিন্দুর সরণ বলের অভিমুখে ঘটে তবে কৃতকাজকে বলের দ্বারা কাজ বলে।

শূন্য কাজ

বল প্রয়োগের ফলে যদি বস্তুর সরণ না হয় অথবা বলের প্রয়োগবিন্দু যদি সরণের উল্লম্ব অভিমুখে সরে যায় তবে শূন্য কাজ সম্পন্ন হয়।

একক কাজ

কোনো বস্তুর উপর একক বল প্রয়োগে বলের ক্রিয়া রেখা বরাবর যদি বস্তুটির একক সরণ ঘটে তবে যে পরিমাণ কাজ সম্পাদিত হয় তাকে একক কাজ বলে।

ঋণাত্মক কাজ

বল প্রয়োগের ফলে যদি বলের প্রয়োগ বিন্দু বলের ক্রিয়ার বিপরীত দিকে সরে যায় বা বলের দিকে সরণের ঋণাত্মক উপাংশ থাকে তবে যে কাজ সম্পাদিত হয় তাকে ঋণাত্মক কাজ বলে।

ধনাত্মক কাজ

কোনো বস্তুর উপর বল প্রয়োগের ফলে যদি বস্তুর সরণ হয় এবং বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ যদি 90° অপেক্ষা কম হয় তবে বল দ্বারা সম্পন্ন কাজকে ধনাত্মক কাজ বা বলের দ্বারা কাজ বলে।

স্প্রিং বল

কোনো স্প্রিং-এর মুক্ত প্রান্তের সরণ ঘটালে স্প্রিংটি সরণের বিপরীত দিকে যে বল প্রয়োগ করে তাই স্প্রিং বল।

স্প্রিং ধ্রুবক

কোনো স্প্রিং-এর মুক্ত প্রান্তের একক সরণ ঘটালে স্প্রিংটি সরণের বিপরীত দিকে যে বল প্রয়োগ করে তাকে ঐ স্প্রিং- এর স্প্রিং ধ্রুবক বলে।

প্রত্যয়নী বল

কোনো স্প্রিংকে দৈর্ঘ্য বরাবর বিকৃত করলে স্থিতিস্থাপক ধর্মের দরুন প্রযুক্ত বলের বিপরীতে যে বলের উদ্ভব হয় তাকে প্রত্যায়নী বল বলে।

স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি

স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে বস্তুর উপর বল প্রয়োগ করে বস্তুর বিকৃতি ঘটানোর জন্য যে পরিমাণ কাজ বস্তুর মধ্যে বিভব শক্তি হিসেবে সঞ্চিত থাকে তাকে স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি বলে।

গতিশক্তি

কোনো বস্তু গতিশীল অবস্থায় থাকার জন্য কাজ করার যে সামর্থ্য অর্জন করে তাকে গতিশক্তি বলে।

যান্ত্রিক শক্তি

কোনো বস্তুর অবস্থান ও গতির কারণে এর মধ্যে যে শক্তি থাকে তাই যান্ত্রিক শক্তি।

স্থিতিশক্তি

স্বাভাবিক অবস্থান বা আকৃতি হতে পরিবর্তন করে কোনো বস্তুকে অন্য কোনো অবস্থান বা আকৃতিতে আনলে ঐ বস্তুতে কিছু পরিমাণ শক্তি সঞ্চিত হয়। বস্তুর এ পরিবর্তিত অবস্থান বা আকৃতির জন্য বস্তুতে যে শক্তি সঞ্চিত থাকে তাকে ঐ বস্তুর স্থিতিশক্তি বলে।

ঋণাত্মক বিভব শক্তি

কোনো বস্তুকে ভূমি হতে নিচের দিকে নামানো হলে এটি যে বিভবশক্তি অর্জন করে তাকে ঋণাত্মক বিভবশক্তি বলে।

অভিকর্ষ কেন্দ্র

বল সবসময় একটি বিন্দুতে কাজ করে, এ বিন্দুকে বলের ক্রিয়া বিন্দু বলা হয়। পদার্থের ওজন বা অভিকর্ষ বলও একটি বল। তাই ওজনও একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে। এ নির্দিষ্ট বিন্দুকেই বস্তুর অভিকর্ষ কেন্দ্র বলে।

শক্তির অপচয়

শক্তির এক রূপ হতে অন্যরূপে রূপান্তরের সময় এর সামান্য কিছু অংশ এমনভাবে রূপান্তরিত হয় যা কোনো কাজে আসে না। শক্তির এ অকার্যকর রূপান্তরকে শক্তির অপচয় বলে।

ক্ষমতা

কোনো উৎস বা সিস্টেম একক সময়ে যে কাজ সম্পাদন করে তাকে তার ক্ষমতা বলে।

অশ্বক্ষমতা কাকে

প্রতি সেকেন্ডে 746 জুল কাজ করার ক্ষমতাকে এক অশ্বক্ষমতা বলে।

এক ওয়াট

কোনো সিস্টেম এক সেকেন্ড সময়ে এক জুল কাজ সম্পন্ন করলে ঐ সিস্টেমের ক্ষমতাকে এক ওয়াট বলে।

কিলোওয়াট-ঘন্টা

এক কিলোওয়াট ক্ষমতাসম্পন্ন কোনো যন্ত্র এক ঘণ্টা কাজ করলে যে শক্তি ব্যয় হয় তাকে এক কিলোওয়াট ঘণ্টা বলে।

সংরক্ষণশীল বল

যে বল কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়া করলে তাকে যেকোনো পথে ঘুরিয়ে পুনরায় প্রাথমিক অবস্থানে আনলে বল কর্তৃক কাজ শূন্য হয় তাকে সংরক্ষণশীল বল।

কর্মদক্ষতা

কোনো ব্যবস্থা বা যন্ত্র থেকে প্রাপ্ত মোট কার্যকর শক্তি এবং ব্যবস্থায় বা যন্ত্রে প্রদত্ত মোট শক্তির অনুপাতকে ঐ ব্যবস্থার বা যন্ত্রের কর্মদক্ষতা বলে।

Work, Energy & Power

Work, Energy & Power

কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা

কাজ, ক্ষমতা এবং শক্তির ধারণা

কাজ, \(W=F\times s\)
গতিশক্তি, \(E_k=\frac12mv^2=\frac12pv=\frac{\left(mv\right)^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}\)
বিভবশক্তি, \(E_p=mgh\)
ক্ষমতা, \(P=\frac Et=\frac Wt=\frac{Fs}t=F\frac st=Fv=mgv\)

কর্মদক্ষতা, \(\eta=\frac P{P_{in}}\times100\%\)
কার্যকর ক্ষমতা, \(P=\frac\eta{100}\times P_{in}\)

পড়ন্ত বস্তুর তল ভেদকরণ

 বস্তুর মধ্যে সঞ্চিত মোট শক্তি = কাঁদার বাধদানকারী শক্তি

মেঝেতে, \(mgh+mgx=F.x\)
মেঝেতে, \(\frac12mv^2+mgh+mgx=F.x\)
ছাদে, \(\frac12mv^2-mgh-mgx=F.x\)
দেয়ালে, \(\frac12mv^2=F.x\)

তলের উপর হাতুড়ি দিয়ে পেরেক মারা

মেঝেতে, \(F.h+Mg(h+x)+mgx=F’x\)
মেঝেতে, \(\frac12mv^2+Mg(h+x)+mgx=F’x\)
দেয়ালে, \(F.h=F’x\)
ছাদে, \(F.h-Mgh-mgx=F’x\)

ইট দিয়ে দেয়াল নির্মাণ

আনুভূমিক বরাবর N সংখ্যক এবং উচ্চতা বরাবর n সংখ্যক ইট দিয়ে একটি দেয়াল তৈরি করি তাহলে মোট কাজ হবে,
   \(W=N.mgh\frac{n(n-1)}2\)

ঘূর্ণনরত বস্তুর ক্ষেত্রে সুতার টান নির্ণয়

উলম্বভাবে ঘুরানো হলে,

নিচের বিন্দুতে সুতার টান, \(T=\frac{mv^2}r+mg\)
আনুভূমিক বরাবর সুতার টান, \(T=\frac{mv^2}r\)
উলম্ব বরাবর উপরের অবস্থানে সুতার টান,\(=\frac{mv^2}r-mg\)

কুয়া পানি শূন্যকরণ

কাজ, \(W=mgh\)

পানি পূর্ণ কুয়ার জন্য, \(h=\frac L2\)
অর্ধেক পানি পূর্ণ কুয়ার জন্য, \(h=\frac L2+\frac{\displaystyle\frac L2}2=\frac L2+\frac L4\)
পানি পূর্ণ কুয়া অর্ধেক পানিশূন্য করণের জন্য, \(h=\frac{\displaystyle\frac L2}2=\frac L4\)
পানি পূর্ণ কুয়া এক তৃতীয়াংশ পানিশূন্য করণের জন্য, \(h=\frac{\displaystyle\frac L3}2=\frac L6\)
এক তৃতীয়াংশ পানি পূর্ণ কুয়া পানিশূন্য করণের জন্য, \(h=\frac L3+\frac{\displaystyle\frac{2L}3}2=\frac L3+\frac{2L}6=\frac L3+\frac L3=\frac{2L}3\)

কর্মদক্ষতার হিসাব

কার্যকর ক্ষমতা, \(P_e=P_{in}\times\eta_1\times\eta_2\times\eta_3\)

Work, Energy & Power

কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা

এই অধ্যায়ের সকল টপিকস সমূহ

  • টপিকস - 5.1:

    কাজ, ক্ষমতা এবং শক্তির ধারণা ।

  • টপিকস - 5.2:

    কাজ এবং ভেক্টর ।

  • টপিকস - 5.3:

    ঘর্ষণবিহীন তলে বস্তুর উদ্ধারোহণ বা অবরোহণ ।

  • টপিকস - 5.4:

    পড়ন্ত বস্তুর তল ভেদকরণ ।

  • টপিকস - 5.5:

    তলের উপর হাতুড়ি দিয়ে পেরেক মারা ।

  • টপিকস - 5.6:

    ইট দিয়ে দেয়াল নির্মাণ ।

  • টপিকস - 5.7:

    ঘূর্ণনরত বস্তুর ক্ষেত্রে সুতার টান নির্ণয় ।

  • টপিকস - 5.8:

    কুয়া পানি শুন্যকরণ ।

  • টপিকস - 5.9:

    কর্মদক্ষতার হিসাব ।

টপিকস - 5.1: কাজ, ক্ষমতা এবং শক্তির ধারণা ।

কাজ, ক্ষমতা এবং শক্তির ধারণা

এ অধ্যায় আলোচনার পূর্বে মাধ্যমিকে জেনে আসা কিছু বিষয় আর একবার পুনরাবৃত্তি করতে চাই । তোমরা জেনে এসেছো-

  • কোন বস্তুর উপর F বল প্রয়োগে যদি বস্তুটির s পরিমাণ সরণ হয় তবে বল প্রয়োগকারী কতৃক কৃত কাজ w হবে-

   কাজ = বল × সরণ
   বা, \(W=F\times s\)

  • m ভরের বস্তু যদি v বেগে গতিশীল হয় তবে বস্তুটির গতিশক্তি \(E_k\) হবে–

   গতিশক্তি, \(E_k=\frac12mv^2=\frac12pv=\frac{\left(mv\right)^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}\)

  • m ভরের বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ হতে h উচ্চতায় উঠানো হলে কৃত কাজ বা তার ভিতর সঞ্চিত বিভবশক্তি \(E_p\) হবে-

বিভবশক্তি, \(E_p=mgh\)

বস্তুত শক্তি এবং কাজ একই জাতীয় রাশি । বস্তু শক্তি প্রয়োগ করে মানে কাজ করে । তাই কাজ এবং শক্তি রাশি দুইটিকে আলাদা ভাবে চিন্তা করার প্রয়োজন নেই । উদাহরণ সরূপ একটি বস্তুকে নির্দিষ্ট পরিমাণ গতিশক্তিতে নিয়ে আসতে গেলে তার উপর যে কাজ করতে হয় তাই এর অভ্যন্তরে গতিশক্তি আকারে জমা হয় ।

  • যদি কোন একটি বস্তু t সময়ে w পরিমাণ কাজ সম্পন্ন করে তবে তার ক্ষমতা P হবে-

   ক্ষমতা, \(P=\frac Et=\frac Wt=\frac{Fs}t=F\frac st=Fv=mgv\)

এ রকম কাজ বা শক্তির সাথে সময়ের সম্পর্ক দিয়ে বিভিন্নভাবে তোমাকে ক্ষমতা বের করতে বলা হতে পারে ।

  • একটি যন্ত্রে যে পরিমাণ ক্ষমতা দেয়া থাকে বা তার উপর যত ক্ষমতা লেখা থাকে, যন্ত্রটি বাস্তবিক ভাবে ততটা ক্ষমতা সম্পন্ন হয়না । কিছুটা কম হয় । কারণ এক্ষেত্রে ঘর্ষণ সহ অনন্য কারণে কিছু অপচয় অবশ্যই আছে । এখন যদি যন্ত্রটিতে \(P_{in}\)পরিমাণ ক্ষমতা দেয়া থাকে এবং অপচয় বাদ দিয়ে এ ক্ষমতার মধ্য থেকে P পরিমাণ ক্ষমতা কাজে লাগে তাহলে যন্ত্রটির কর্মদক্ষতা ɳ হবে-

   কর্মদক্ষতা, \(\eta=\frac P{P_{in}}\times100\%\)
   কার্যকর ক্ষমতা, \(P=\frac\eta{100}\times P_{in}\)

এ অধ্যায়ের আলোচনায় নতুনত্যের পরিমাণ খুবই সামান্য । এখানে মূলত উপরে উল্লেখিত বিষয়বস্তু গুলো নিয়েই ব্যাবহারিক জীবনের সমন্নয় ঘটানো হয়েছে । তাই আমরা পরবর্তী আলোচনা টপিক ভিত্তিক ভাবে কিছু প্রয়োগ নিয়েই করব ।

টপিকস - 5.2: কাজ এবং ভেক্টর ।

কাজ এবং ভেক্টর

ভেক্টর অধ্যায়ে আমরা জেনেছি কেন বল ও সরণ উভয়ই ভেক্টর রাশি হওয়া সত্ত্বেও কাজ একটি স্কেলার রাশি । কাজ স্কেলার রাশি কারণ- কাজ হল বল এবং সরণের ডট গুণের ফলাফল । আর দুইটি ভেক্টরের ডট গুণের ফলাফল একটি স্কেলার রাশি হয় ।

অর্থাৎ একটি বস্তুতে \(\overrightarrow F\) বল প্রয়োগে যদি বস্তুটির \(\overrightarrow s\) সরণ হয়, তবে কাজ w হবে-

   \(W=\overrightarrow F.\overrightarrow s=Fs\;\cos\theta\)   [যেখানে θ হল বল এবং সরণের মধ্যবর্তী কোণ]

মনে রাখবে, \(\overrightarrow F\) এবং \(\overrightarrow s\) কে এমনভাবে প্রকাশ করা হয়েছে, যেন তারা একই বিন্দু থেকে বের হয়ে যাচ্ছে ।

একটি উদাহরণ দিয়ে বিষয়টি বুঝা যাক-

মনে কর,

উদ্দীপকের বস্তুটিকে OX বরাবর F বল প্রয়োগ করা হল । কিন্তু বস্তুটির সরণ s হল OP বরাবর হল । তাহলে বল এবং সরণের

মধ্যবর্তী কোণ θ  হলে, কাজ- \(W=\overrightarrow F.\overrightarrow s=Fs\;\cos\theta\)

এই টপিকসের উপর গাণিতিক সমস্যা ।

১। এক ব্যাক্তি একটি বস্তুকে আনুভূমিকের সাথে 60° কোণে 100N বলে টানলে বস্তুটির আনুভূমিক বরাবর 20m সরণ হয় । ঐ ব্যাক্তির কৃত কাজ নির্ণয় কর ।

২। \(\overrightarrow F=4\widehat i+3\widehat j-\widehat k\) বল প্রয়োগে একটি বস্তু A(0,1,3) বিন্দু থেকে B(4,7,9) বিন্দুতে চলে যায় । কাজ নির্ণয় কর ।

সমাধান

১। এক ব্যাক্তি একটি বস্তুকে আনুভূমিকের সাথে 60° কোণে 100N বলে টানলে বস্তুটির আনুভূমিক বরাবর 20m সরণ হয় । ঐ ব্যাক্তির কৃত কাজ নির্ণয় কর ।

সমাধান
ক্রিয়াশীল বল, F=100N
সরণ, s=20m
বল এবং সরণের মধ্যবর্তী কোণ, θ=60°

সুতরাং কৃত কাজ, \(W=Fs\;\cos\theta=100\times20\times\cos60^o=1000J\)

২। \(\overrightarrow F=4\widehat i+3\widehat j-\widehat k\) বল প্রয়োগে একটি বস্তু A(0,1,3) বিন্দু থেকে B(4,7,9) বিন্দুতে চলে যায় । কাজ নির্ণয় কর ।

সমাধান
ক্রিয়াশীল বল, \(\overrightarrow F=4\widehat i+3\widehat j-\widehat k\)
সরণ, \(\overrightarrow s=(4-0)\;\widehat i\;+(7-1)\;\widehat j\;+(9-3)\;\widehat k\;=4\widehat i\;+6\widehat j\;+6\widehat k\)

সুতরাং কৃত কাজ, \(W=\overrightarrow F.\overrightarrow s=\left(4\widehat i+3\widehat j-\widehat k\right).\left(4\widehat i+6\widehat j+6\widehat k\right)=16+18-6=28J\)

টপিকস - 5.3: ঘর্ষণবিহীন তলে বস্তুর উদ্ধারোহণ বা অবরোহণ ।

ঘর্ষণবিহীন তলে বস্তুর উদ্ধারোহণ বা অবরোহণ

আগেই বলে দিচ্ছি, এই টপিকস এ আমরা প্রথমে সব আলোচনায় কাজ বলতে বুঝব শুধুমাত্র অভিকর্ষ কত্রিক কৃত কাজ বা বিভব শক্তি । গতিশক্তি বা রাস্তা ঘর্ষণ বিহীন ।

মনে কর, চিত্রে ABC একটি রাস্তা । ADE এই রাস্তার উপর একটি ফ্লাইওভার । আর এক্ষেত্রে রাস্তা এবং ফ্লাইওভার উভয় তলই ঘর্ষণবিহীন । তাহলে তুমি যদি একটি বস্তুকে A বিন্দু হতে AD ফ্লাইওভার দিয়ে D বিন্দুতে উঠাও তাহলে কিছু কাজ করতে হবে । আবার যদি ঐ একই বস্তুকে তুমি A এর সমান উচ্চতা লেভেল B বিন্দু হতে D বিন্দুতে টেনে তোল সেক্ষেত্রেও কিছু কাজ করতে হবে । এখন প্রশ্ন হল, এই দুই ক্ষেত্রে কাজ কি সমান হবে নাকি ভিন্ন হবে ? তোমাদের মনে হতে পারে, ভিন্ন হবে । কিন্তু এক্ষেত্রে আসলে কাজ সমান হবে । কিভাবে ? দেখ, তুমি যদি সাইকেল চালিয়ে এক ঘণ্টায় দশ কিলোমিটার পথ পারি দাও আর তোমার বন্ধু যদি ঐ দশ কিলোমিটার পথ আধা ঘণ্টায় পারি দেয় তবে তুমি কি বলবে তোমার বন্ধু কাজ বেশি করেছে বা তুমি কাজ কম করেছ ? না । কারণ দুজনই সমান কাজ করেছে । একজন দ্রুত আর একজন ধীরে । তুমি হয়ত বলতে পার, তোমার ক্ষমতা কম আর তোমার বন্ধুর ক্ষমতা বেশি ছিল । কিন্তু দুজনের কাজের পরিমাণ সমান । সেই দৃষ্টিকোণ থেকে আমরা বলতে পারি, একটি বস্তুকে A বিন্দু হতে D বিন্দুতে নিতে যে কাজ করতে হবে, অপরদিকে ঐ একই বস্তুকে B বিন্দু হতে D বিন্দুতে নিতে একই পরিমাণ কাজ করতে হবে ।

অর্থাৎ, \(W_{AD}=W_{BD}\)

m ভরের একটি বস্তুকে B হতে D বিন্দুতে বা h উচ্চতায় উঠাতে কাজের পরিমাণ,
   \(W=mgh\)

সুতরাং বস্তুটিকে AD পথে তুলতে কাজের পরিমাণ, \(W=mgh\)

কিন্তু এই ধরণের সমস্যা গুলোতে সরাসরি h এর মানটি দেয়া থাকবেনা । দেয়া থাকবে শুধু AD রাস্তা, মই, ফ্লাইওভার বা সিঁড়ির দৈর্ঘ্য (x) এবং ভূপৃষ্ঠের সাথে অথবা উলম্বের সাথে এর উৎপন্ন কোণ যথাক্রমে θ বা α । তোমাকে যা করতে হবে তা হল, x এবং θ বা α  এর সাহায্যে h এর মান বের করে নিতে হবে । অথবা তুমি সরাসরি সূত্রটিকে পরিবর্তন করে নিতে হবে । যেমন এখানে,

   \(\sin\theta=\frac{BD}{AC}=\frac hx\)
   \(h=x\;\sin\theta\)
সুতরাং \(W=mgh=mgx\;\sin\theta\)

অথবা, \(\cos\alpha=\frac{BD}{AC}=\frac hx\)
   \(h=x\;\cos\alpha\)
সুতরাং \(W=mgh=mgx\;\cos\alpha\)

এভাবে তোমরা ঘর্ষণবিহীন তলে ব্যাক্তি বা বস্তু অদ্ধারোহনে বা অবরোহণে কাজ নির্ণয় করতে পারবে । এখন যদি তলের কোন ঘর্ষণ থেকে থাকে তাহলে তা মূল কাজের সাথে যোগ হবে । ব্যাক্তি যদি সাথে কোন ভর যুক্ত বস্তু নিয়ে উঠে তাহলে তার ভরের সাথে বস্তুর ভর যোগ হবে । এভাবে ভেবে চিন্তে এই সূত্রগুলো ব্যবহার করতে হবে ।

এই টপিকসের উপর গাণিতিক সমস্যা ।

আসছে…

সমাধান

আসছে…

টপিকস - 5.4: পড়ন্ত বস্তুর তল ভেদকরণ ।

পড়ন্ত বস্তুর তল ভেদকরণ

কিছুটা উপর হতে কোন বস্তু নরম তলের উপর ফেলে দিলে সেটি কাঁদার ভিতর কিছুটা প্রবেশ করে । এক্ষেত্রেও রয়েছে কাজ ক্ষমতা এবং শক্তির হিসাব ।

  • মনে কর, চিত্রে একটি কাদাযুক্ত তলের উপরের পৃষ্ট হতে h উচ্চতা হতে m ভরের একটি বস্তু পড়ে গিয়ে কাঁদার মধ্যে x পরিমাণ ঢুকে গেল । তাহলে এক্ষেত্রে কাঁদার বাঁধাদানকারী বলের মান কত হবে ?

মনে কর, m ভরের বস্তুটি h উচ্চতা থেকে পড়ে কাঁদার ভিতর x পরিমাণ প্রবেশ করল ।

তাহলে,
 বস্তুর মধ্যে সঞ্চিত মোট শক্তি = কাঁদার বাধদানকারী শক্তি
   বা, \(mg\left(h+x\right)=F.x\)
   বা, \(mgh+mgx=F.x\)

সমীকরণটিতে ডানপাশে বাঁধাদানকারী বল F এর সাথে সরণ x গুণ দেয়া হয়েছে । কারণ, বামপাশে আমরা কাজ বা শক্তি লিখেছি যার একক জুল যা এই তলের উপর ক্রিয়া করেছে । তাই ডানপাশে কাজ বা বাধাদানকারী শক্তি বা কাজ (একক জুল) রাখার জন্য বলের সাথে সরণ গুণ করা হয়েছে ।

  • এখন যদি বস্তুটিকে শুধু বিভবশক্তিতে না, বরং h উচ্চতা হতে v বেগে নিচের দিকে ছুড়ে দেয়া হত । তাহলে, বস্তুটির বিভবশক্তির সাথে এর গতিশক্তিও যোগ হত ।

অর্থাৎ, \(\frac12mv^2+mgh+mgx=F.x\)

  • অনুরূপভাবে, তলটি যদি উপরে থাকত আর বস্তুটি নিচ থেকে যেকোনো গতিশক্তিতে ছুড়ে দেয়া হত তবে,

   \(\frac12mv^2-mgh-mgx=F.x\)

কারণ এক্ষেত্রে অভিকর্ষ বা বিভবশক্তি বাঁধা হিসেবে কাজ করেছে তাই তা গতিশক্তির বিরুদ্ধে বা বাঁধাদানকারী বল হিসেবে কাজ করেছে ।

  • তলটি যদি আনুভূমিক দিকে অর্থাৎ সামনে বা পিছনে থাকত তবে যা হত,

   \(\frac12mv^2=F.x\)

কারণ আনুভূমিক দিকে কোন অভিকর্ষ থাকেনা । অর্থাৎ তল ভেদ করার ক্ষেত্রে অভিকর্ষ বাঁধা বা সাহায্যকারী কোনটি হিসেবেই থাকবেনা ।

এই টপিকসের উপর গাণিতিক সমস্যা ।

আসছে…

সমাধান

আসছে…

টপিকস - 5.5: তলের উপর হাতুড়ি দিয়ে পেরেক মারা ।

তলের উপর হাতুড়ি দিয়ে পেরেক মারা

হাতুড়ি দিলে পেরেক মারার ক্ষেত্রে শুধু হাতের কাজের জন্যই যে পেরেক তক্তার ভিতর প্রবেশ করে তা নয় । হাতুড়ির ওজন এবং অভিকর্ষ উভয়ই এতে সাহায্য করে ।

  • মনে কর, M ভরের হাতুড়ি দ্বারা h উচ্চতা হতে m ভরের কোন পেরেকের উপর F বলে আঘাত করায় পেরেকটি কাঠের মধ্যে x পরিমাণ প্রবেশ করল । পেরেকটি কাঠের ভিতর x প্রবেশ করে থেমে যাওয়ার কারণ কাঠের মধ্যে বাধাদানকারী বল F’ । এই F’ বল কাঠের মধ্যে প্রবেশকৃত x পরিমাণ সরণ ব্যাপি ক্রিয়া করেছে ।

এক্ষেত্রে বলা যায়,
   কাঠের উপর ক্রিয়াকৃত মোট কাজ বা শক্তি = কাঠের বাধাদানকারী শক্তি বা কাজ

অর্থাৎ,
   হাতুড়ির উপর বল দেয়ায় প্রযুক্ত শক্তি \(=F.h\)
   হাতুড়ির ওজনের দরুন প্রযুক্ত শক্তি \(=Mg(h+x)\)  [হাতুড়িটি x সরণেও পেরেকের উপরেই ছিল]
   পেরেকের ওজনের দরুন প্রযুক্ত শক্তি \(=mgx\)
   কাঠ কতৃক প্রযুক্ত বাধাদানকারী শক্তি \(=F’x\)

সুতরাং ক্রিয়া এবং বাঁধা সমান বলে,
   \(F.h+Mg(h+x)+mgx=F’x\)

  • অনুরুপভাবে হাতুড়ির উপর F বল ক্রিয়া না করে একটি v বেগে নিক্ষেপ করা হলে,
    \(\frac12mv^2+Mg(h+x)+mgx=F’x\)
  • কাঠটি যদি সামনে খাঁড়া অবস্থায় থাকত বা হাতুড়িতে আনুভূমিক বরাবর s দূরে থেকে F বল প্রয়োগ করা হত তবে F’ বাধাদানকারী বলের ক্রিয়ায় পেরেকটি x পরিমাণ কাঠের মধ্যে প্রবেশ করে থেমে যেত । তবে,
    \(F.h=F’x\)

    [এক্ষেত্রে হাতুড়ির বা পেরেকের ওজন কোনটিই ক্রিয়া করবেনা । কারণ আনুভূমিক দিকে অভিকর্ষজ ত্বরণ বা বল নেই]

  • কাঠটি যদি উপরে থাকত বা হাতুড়িতে h নিচে থেকে F বল প্রয়োগ করা হত তবে F’ বাধাদানকারী বলের ক্রিয়ায় পেরেকটি x পরিমাণ কাঠের মধ্যে প্রবেশ করে থেমে যেত । তবে,
    \(F.h-Mgh-mgx=F’x\)

    [এক্ষেত্রে হাতুড়ির বা পেরেকের ওজন উভয়ই প্রযুক্ত বলের বিরুদ্ধে ক্রিয়া করেছে । কারণ উলম্ব দিকে অভিকর্ষজ ত্বরণ বা বল ঋণাত্মক]

এই টপিকসের উপর গাণিতিক সমস্যা ।

আসছে…

সমাধান

আসছে…

টপিকস - 5.6: ইট দিয়ে দেয়াল নির্মাণ ।

ইট দিয়ে দেয়াল নির্মাণ

আগেই বলে দিচ্ছি, এক্ষেত্রে যা কাজ নির্ণয় করব সব হবে অভিকর্ষের জন্য কাজ । একটি বস্তুকে যদি ভূপৃষ্ঠ হতে তুলে যদি আবার ভূপৃষ্ঠের উপরই রাখা হয় তবে কি কাজ হবে ? না, হবেনা । কারণ এখানে উলম্ব বরাবর বস্তুর ভরকেন্দ্রের কোন সরণ নেই । অর্থাৎ, \(W=mgh\) সূত্রে h এর মান শুন্য । তাই এক্ষেত্রে কোন কাজ হবেনা । এক্ষেত্রে আমরা কিছু ইট ব্যবহার করব যাদের ভর m এবং উচ্চতা h ।

সুষম বস্তুর ভর বস্তুর কেন্দ্রে অবস্থান করে । নিশ্চয়ই বুঝতে পেরেছ, এক্ষেত্রে প্রথম ইটটি স্থানান্তর করতে কোন কাজ করতে হবেনা । দ্বিতীয় ইটটির ভরকেন্দ্রের সরণ কত ? ইটটির ভরকেন্দ্রের সরণ হবে, একটি ইটের উচ্চতার সমান । কারণ এটি আগে ছিলঃ \(\frac h2\) উচ্চতায় স্থানান্তরের পর এটি অবস্থান করছে \(\frac{3h}2\) উচ্চতায় । তাহলে এর ভরকেন্দ্রের সরণ হবে \(=\frac{3h}2-\frac h2=h\)

অনুরুপভাবে,
তৃতীয় ইটটি স্থানান্তর করতে ভরকেন্দ্রের সরণ হবে \(=2h\)
চতুর্থ ইটটি স্থানান্তর করতে ভরকেন্দ্রের সরণ হবে \(=3h\)
পঞ্চম ইটটি স্থানান্তর করতে ভরকেন্দ্রের সরণ হবে \(=4h\)

তাহলে,
প্রথম ইটটি স্থানান্তর করতে কাজ \(=0=mgh\times0\)
দ্বিতীয় ইটটি স্থানান্তর করতে কাজ \(=mgh\times1\)
তৃতীয় ইটটি স্থানান্তর করতে কাজ \(=mgh\times2\)
চতুর্থ ইটটি স্থানান্তর করতে কাজ \(=mgh\times3\)
পঞ্চম ইটটি স্থানান্তর করতে কাজ \(=mgh\times4\)
————————————-
n তম ইটটি স্থানান্তর করতে কাজ \(=mgh\times\left(n-1\right)\)

এখন উচ্চতা বরাবর n সংখ্যক ইট দিয়ে এই দেয়ালটি তৈরি করতে মোট কাজ,
  \(W=mgh\times0+mgh\times1+mgh\times2+mgh\times3+………….+mgh\times\left(n-1\right)\)
বা, \(W=mgh\left\{0+1+2+3+4+……….+(n-1)\right\}\)
বা, \(W=mgh\left\{1+2+3+4+……….+(n-1)\right\}\)

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখার বর্গের সমষ্টি, \(S_n=\frac{n(n+1)}2\)

সুতরাং (n-1) সংখ্যক স্বাভাবিক সংখার বর্গের সমষ্টি, \(S_{n-1}=\frac{(n-1)(n-1+1)}2=\frac{n(n-1)}2\)

অর্থাৎ, \(\left\{1+2+3+4+……….+(n-1)\right\}=S_{n-1}=\frac{n(n-1)}2\)

অর্জিত মান (1) নম্বর সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   \(W=mgh\frac{n(n-1)}2\)

সমীকরণটি তখনই আমরা ব্যবহার করতে পারব, যখন m ভর এবং h উচ্চতা বিশিষ্ট n সংখ্যক ইট একটির উপর একটি রেখে স্তম্ভ তৈরি করা হবে ।

এখন যদি এর পাশেই একই এবং একই সংখ্যক ইট দিয়ে আরও একটি স্তম্ভ তৈরি করা হয় তাহলে কাজ কত হবে ? নিশ্চয়ই এর সমান হবে । অর্থাৎ মোট কাজ দিগুন হবে । তাহলে আমরা যদি পাশাপাশি বা আনুভূমিক বরাবর N সংখ্যক এবং উচ্চতা বরাবর n সংখ্যক ইট দিয়ে একটি দেয়াল তৈরি করি তাহলে মোট কাজ হবে,
   \(W=N.mgh\frac{n(n-1)}2\)

উদাহরণস্বরূপ, এই দেয়ালটির দিকে তাকাও । 

এখানে,
   N=6; n=3; m=একটি ইটের ভর; h= একটি ইটের উচ্চতা

এই টপিকসের উপর গাণিতিক সমস্যা ।

আসছে…

সমাধান

আসছে…

টপিকস - 5.7: ঘূর্ণনরত বস্তুর ক্ষেত্রে সুতার টান নির্ণয় ।

ঘূর্ণনরত বস্তুর ক্ষেত্রে সুতার টান নির্ণয়

মনে করি, m ভরের একটি বস্তু r ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে v বেগে প্রদক্ষিণ করছে । এখন, বস্তুটি যখন A, B এবং C বিন্দুতে অবস্থান করছে তখন সুতার টান নির্ণয় করতে হবে । তোমরা নিশ্চয়ই জান, কেন্দ্রবিমুখী বল সব সময় ঘূর্ণনের কেন্দ্র থেকে পরিধি বরাবর সোজা বাহিরের দিকে ক্রিয়া করে ।

তাহলে,

A বিন্দুতে,
কেন্দ্রমুখী বল বা সুতার টান \(=T\)
কেন্দ্রবিমুখী বল বা সুতার বিপরীতে টান \(=\frac{mv^2}r+mg\)

যেহেতু বস্তুটি ঘুরছে তাই আমরা বলতে পারি,
অবশ্যই কেন্দ্রমুখী বল = কেন্দ্রবিমুখী বল হবে

তাহলে,
   \(T=\frac{mv^2}r+mg\)

অনুরুপভাবে,

B বিন্দুতে,
কেন্দ্রমুখী বল বা সুতার টান \(=T\)
কেন্দ্রবিমুখী বল বা সুতার বিপরীতে টান \(=\frac{mv^2}r\)   [যেহেতু আনুভূমিক বরাবর ওজন বা mg নেই]

সুতরাং, সুতার টান,
   \(T=\frac{mv^2}r\) 

C বিন্দুতে,
কেন্দ্রমুখী বল বা সুতার টান \(=T\)
কেন্দ্রবিমুখী বল বা সুতার বিপরীতে টান \(=\frac{mv^2}r+mg\)   [যেহেতু আনুভূমিক বরাবর ওজন বা mg কেন্দ্রমুখী বলের বিপরীতে বা সুতার টানের পক্ষে কাজ করছে]

সুতরাং, সুতার টান,
  \(=\frac{mv^2}r-mg\)

এই টপিকসের উপর গাণিতিক সমস্যা ।

আসছে…

সমাধান

আসছে…

টপিকস - 5.8: কুয়া পানি শুন্যকরণ ।

কুয়া পানি শূন্যকরণ

এই টপিকসটি শুধুমাত্র কুয়া পানি শূন্যকরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য । আবারও বলছি, প্রশ্নে যদি এমন কোন কথা উল্লেখ থাকে, কুয়ার পানি হ্রাস পাচ্ছে তবেই শুধুমাত্র এই টপিকসটি প্রযোজ্য । আর এক্ষেত্রে আমরা যা কাজ নির্ণয় করব তা শুধুমাত্র অভিকর্ষের জন্য কাজ হবে ।

  • পানি পূর্ণ কুয়া

মনে কর, L গভীরতার পানি পূর্ণ একটি কুয়ায় পানি পূর্ণ আছে । এখন কুয়ার পাশে একটি ইঞ্জিন বসিয়ে কুয়াটিকে পানি শূন্য করতে হবে । এক্ষেত্রে কাজ নির্ণয় করতে হবে । ধরি, উত্তোলনকৃত পানির পরিমাণ m Kg ।

আমরা জানি, কাজ, \(W=mgh\)

এক্ষেত্রে L হল ভরকেন্দ্রের সরণ যা সাধারণত সমগ্র বস্তুর কেন্দ্রে থাকে । সাধারণ ক্ষেত্রে কুয়াটি পানি পূর্ণ থাকা অবস্থায় এর ভরকেন্দ্র কুয়ার কেন্দ্রে P বিন্দুতে থাকে । এখন পানি উত্তোলনের ফলে কুয়ার পানির স্তর ধীরে ধীরে নিচে নেমে যাবে । ফলে ভরকেন্দ্রও ধীরে ধীরে নিচে নেমে যাবে এবং এক সময় ভরকেন্দ্রও কুয়ার নিচের তল স্পর্শ করবে । তাহলে ভরকেন্দ্রের সরণ হল, কুয়ার মধ্য বিন্দু হতে নিচের তল পর্যন্ত ।

সুতরাং ভরকেন্দ্রের সরণ, \(h=\frac L2\)
কাজ, \(W=mgh=mg.\frac L2\)

  • অর্ধেক পানি পূর্ণ কুয়া

কুয়াটি অর্ধেক পানি পূর্ণ থাকলে এটি পানি শুন্য করতে উপরের  উচ্চতা টুকু সার্বক্ষণিক তো থাকবেই । আর এক্ষেত্রে যেহেতু কুয়াটির নিচের অর্ধেক অংশ পানি পূর্ণ থাকবে তাই শুরুতেই ভরকেন্দ্র থাকবে P বিন্দুতে এবং ধীরে ধীরে এর ভরকেন্দ্র কুয়ার নিচের তলে নেমে যাবে ।

সুতরাং ভরকেন্দ্রের সরণ, \(h=\frac L2+\frac{\displaystyle\frac L2}2=\frac L2+\frac L4\)
কাজ, \(W=mgh=mg.\left(\frac L2+\frac L4\right)\)

অথবা উভয় ক্ষেত্রে তোমরা মনে করতে পার, পৃষ্ঠের উপরের পানি গুলো তুলতে বেশি কাজ এবং নিচের পানিগুলো তুলতে কম কাজ । গড়ে মাঝামাঝি উচ্চতায় ধরে নিয়ে ভরকেন্দ্রের সরণ নেয়া যাবে । তাতে কোন ভুল হবেনা ।

অনুরুপভাবে,

  • পানি পূর্ণ কুয়া অর্ধেক পানিশূন্য করণের ক্ষেত্রে

ভরকেন্দ্রের সরণ, \(h=\frac{\displaystyle\frac L2}2=\frac L4\)
কাজ, \(W=mg.\frac L4\)

  • পানি পূর্ণ কুয়া এক তৃতীয়াংশ পানিশূন্য করণের ক্ষেত্রে

ভরকেন্দ্রের সরণ, \(h=\frac{\displaystyle\frac L3}2=\frac L6\)
কাজ, \(W=mg.\frac L6\)

  • এক তৃতীয়াংশ পানি পূর্ণ কুয়া পানিশূন্য করণের ক্ষেত্রেঃ

ভরকেন্দ্রের সরণ, \(h=\frac L3+\frac{\displaystyle\frac{2L}3}2=\frac L3+\frac{2L}6=\frac L3+\frac L3=\frac{2L}3\)
কাজ, \(W=mg.\frac{2L}3\)

এই টপিকসের উপর গাণিতিক সমস্যা ।

আসছে…

সমাধান

আসছে…

টপিকস - 5.9: কর্মদক্ষতার হিসাব ।

চলো এক দেশের ঘুষখোরদের গল্প করা যাক । সে দেশে রাস্তা তৈরির কাজ হবে । এ জন্য সরকার 10,000 টাকার টেন্ডার দিলেন । সরকার প্রথমে টাকা দিলেন মন্ত্রিকে । মন্ত্রি টাকা টাকা দিলেন মেয়রকে । মেয়র টাকা দিলেন ঠিকাদারকে এবং ঠিকাদার শ্রমিকদের মাধ্যমে রাস্তার কাজ করালেন । এখন, এদের মধ্যে মন্ত্রি, মেয়র, ঠিকাদার সবাই ছিলেন ঘুষখোর । এখন যদি তুমি সরকারের টেন্ডারের পরিমাণ দেখে রাস্তার হিসাব নিকাশ করতে বস তবে কখনই হিসাব মিলবেনা । কারণ পুরো টাকাটি কাজে লাগবেনা । এর মধ্যে অনেক টাকাই মন্ত্রি, মেয়র, ঠিকাদার চুড়ি করবে । তাই প্রকৃত হিসাব পেতে হলে তোমাকে জানতে হবে, আসলে কার্যকর টাকা কত । অর্থাৎ টেন্ডারের কত টাকা আসলে কাজে লাগবে । তবে এদের ঘুষের পরিমাণ পূর্বে থেকেই নিজেরা নির্ধারণ করে রেখেছিল । ধর,

  1. মন্ত্রি বলেন-তিনি সরকার থেকে যা পান তার 20% নিজের কাছে রেখে দেন এবং বাকি 80% কাজে লাগান ।
  2. মেয়র বলেন-তিনি মন্ত্রি থেকে যা পান তার 10% নিজের কাছে রেখে দেন এবং বাকি 90% কাজে লাগান ।
  3. ঠিকাদার বলেন-তিনি মেয়র থেকে যা পান তার 15% নিজের কাছে রেখে এবং বাকি 85% কাজে লাগান ।

আমরা জানি, কর্মদক্ষতা হল প্রদত্ত ক্ষমতার কতটুকু অংশ কাজে লাগে । এক্ষেত্রে অপচয়কে হিসেব থেকে বাদ দেয়া হয় । অর্থাৎ,
   কর্মদক্ষতা =( কার্যকর ক্ষমতা / প্রদত্ত ক্ষমতা ) ×100%

সুতরাং কার্যকর ক্ষমতা \(=\frac\eta{100}\times\) প্রদত্ত ক্ষমতা

এই সমীকরণের সাহায্যে আমরা এখন কার্যকর টাকার পরিমাণ নির্ণয় করব ।

এখন আমরা এই 6120 টাকা নিয়ে হিসাব করতে পারি । কারণ 10000 টাকার মধ্যে শুধুমাত্র 6120 টাকাই কাজে লাগবে । এভাবে এক বা একাধিক ইঞ্জিনের ক্ষমতা এবং তাদের কর্মদক্ষতা দেয়া থাকলে প্রকৃত কার্যকর ক্ষমতা বের করে নিয়ে উক্ত ক্ষমতা দিয়ে কাজ হিসাব করতে হবে। তবে এই কর্মদক্ষতার হিসাবটি আলাদা আলাদাভাবে না করে একেবারে প্রদত্ত ক্ষমতাকে সবগুলো কর্মদক্ষতা দিয়ে গুণ করলেই হয়ে যায় । যেমন-

কার্যকর টাকা =সরকার প্রদত্ত টাকা × মন্ত্রীর কর্মদক্ষতা × মেয়রের কর্মদক্ষতা × ঠিকাদারের কর্কদক্ষতা
সুতরাং কার্যকর টাকা \(=10000\times0.8\times0.9\times0.85=6120\)

অর্থাৎ, কার্যকর ক্ষমতা, \(P_e=P_{in}\times\eta_1\times\eta_2\times\eta_3\)

একটি গাণিতিক সমস্যার মাধ্যমে বিষয়টি সম্পর্কে আরও পরিষ্কার হওয়া যাকঃ-

প্রশ্নঃ 1 m ব্যাসার্ধের এবং 7 m গভীর একটি কুয়া পানি পূর্ণ আছে । উক্ত কুয়াটি অর্ধেক পানিশুন্য করতে চিত্রের ন্যায় ভরহীন বালতিতে রশি বেঁধে তা দুইটি ক্রেনের উপর দিয়ে পড়িয়ে ইঞ্জিনের সাহায্যে রশি টানা হল । ইঞ্জিনের ক্ষমতা 10000 W এবং এর দক্ষতা 80% । প্রথম ক্রেনের দক্ষতা 90% এবং দ্বিতীয় ক্রেনের দক্ষতা 85% । এখন এ কাজটি করতে কত সময় লাগবে ?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
   কুয়ার ব্যাসার্ধ, \(r=1m\)
   কুয়ার দৈর্ঘ্য, \(L=7m\)

সুতরাং কুয়ার আয়তন, \(V=\pi r^2L=\pi\times1^2\times7=7\pi\;m^3\)

আমরা জানি,
পানির ঘনত্ব, \(\rho=\frac mV\)   [পানির ঘনত্ব, \(\rho=1000\;kgm^{-3}\) ]

সুতরাং পানির ভর, \(m=\rho V=1000\times7\pi=7000\pi\;kg\)

যেহেতু অর্ধেক পানি শুন্য করতে হবে, সুতরাং
   অপসারণকৃত পানির ভর, \(m=\frac{7000\pi}2=3500\pi\;kg\)
   কার্যকর ভরকেন্দ্রের সরণ, \(h=\frac{\displaystyle\frac L2}2=\frac L4\;m\)

এখন যেহেতু
ইঞ্জিনের ক্ষমতা 10000 W এবং দক্ষতা 80%
এবং ইঞ্জিনের দক্ষতা = 80%
প্রথম ক্রেনের দক্ষতা = 90%
দ্বিতীয় ক্রেনের দক্ষতা = 85%

সুতরাং, ইঞ্জিন কার্যকর ক্ষমতা, \(P=10000\times0.8\times0.9\times0.85=6120\;W\)

এখন যদি কাজটি করতে t সময় লাগে তবে,
   \(P=\frac Wt=\frac{mgh}t\)
   বা, \(6120=\frac{3500\pi\times9.8\times{\displaystyle\frac74}}t\)

সুতরাং, \(t=30.54\;sec\)

নির্ণয় সময় \(30.54\;sec\) ।

এভাবে কর্মদক্ষতা সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান করতে হবে । পাশাপাশি ভরকেন্দ্রের সরণের কথাটিও মাথায় রাখতে হবে ।

উল্লেখিত টপিকস গুলো ছাড়া তোমাদের মাথায় যা আসে বা আসেপাশে ঘটে যাওয়া সমস্যাগুলো তোমরা নিজেরা সমাধান করার চেষ্টা কর । তাহলে কাজ ক্ষমতা অধ্যায় সম্পর্কে তোমার অনেক ধারণা ভাল ধারণা হবে ।

এই টপিকসের উপর গাণিতিক সমস্যা ।

আসছে…

সমাধান

আসছে…